Fünfeckige Fliesen sind eher selten. Mathematikern sind sie seit fast hundert Jahren ein Rätsel. Bis jetzt.

Ein mathematisches Rätsel ist gelöst: Mit wievielen verschiedenen Fliesenformen lässt sich eine Wand lückenlos bedecken, wenn man jeweils nur eine Form verwenden will?

Antwort: Mit allen Drei- und Vierecken, mit drei verschiedenen Sechsecken und mit 15 unterschiedlichen Fünfecken.

Michael Rao löst fast hundert Jahre altes Rätsel

Während die Lösung für Drei-, Vier- und Sechsecke bereits bekannt war, haben Mathematiker seit fast hundert Jahren versucht, die Zahl der Fünfecke zu berechnen.

Dem Forscher Michael Rao vom französischen Forschungszentrum CNRS ist dies nun gelungen.

Die Frage nach dem lückenlosen Fliesenlegen ist vor allem aus ästhetischen Gründen interessant, stellt aber auch ein grundlegendes mathematisches Problem dar.

Der deutsche Mathematiker Karl Reinhardt hatte 1918 gezeigt, dass dies mit allen Drei- und Vierecken möglich ist, sowie mit drei unterschiedlichen Sechsecken - aber nicht mit Fliesen mit sieben oder mehr Ecken.

Nur für Fünfecke konnte er keine abschließende Antwort geben, wie das CNRS mitteilte.

Forscher beweist: Es gibt nicht mehr als 15 Formen

Seit Reinhardts Arbeit haben einzelne Forschungen bis 2015 bereits 15 verschiedene Fünfecke identifiziert, mit denen sich eine Fläche lückenlos auffüllen lässt.

Rao wollte wissen, ob es noch mehr derartige Fünfecke gibt, und ging die Frage systematisch an: Er konnte zeigen, dass für die Antwort nur eine endliche Zahl von Fünfeck-Familien untersucht werden muss. Eine Familie sind dabei alle Fünfecke mit denselben Winkeln.

Mit Computerhilfe identifizierte Rao 371 Familien, in denen sich potenziell passende Fünfecke befinden. Er testete alle Familien wiederum per Computer durch und fand insgesamt 19 Fünfecke, die eine Fläche lückenlos bedecken können.

Die genaue Analyse zeigte, dass 4 davon Spezialfälle der 15 bereits zuvor identifizierten Fünfecke sind.

Somit bleiben lediglich diese 15 schon bekannten Fünfecke als Lösung - zumindest für das Fliesen einer unendlich großen Wand. Denn die Lösung gilt nur für sogenannte periodische Muster, die sich im Prinzip unendlich wiederholen lassen.

Ob es Formen für ein nicht-periodisches, also endlich großes flächendeckendes Muster gibt, ist damit noch nicht geklärt.  © dpa